Brauch Hilfe in Mathe

[s ganz klää]

Ich verzweifel grad an folgendem:

Wir haben in der Schule bewiesen dass 2^n > n^2 ist. Nur hat dann am Ende als es um den Beweis an sich ging unser Lehrer gemerkt dass er nur noch 2 Minuten hat, & das ganze runtergeratter & keiner hats so richtig verstanden -.-

Da stand dann : Zu zeigen: 2^(n+1) > (n+1)^2

Beweis: 2^(n+1) = 2^n x 2 > 2 x n^2 = n^2 + n^2 = n^2+ n x n > n^2+3n (und ab da komm ich nicht mehr mit..) = n^2 + 2n + n > n^2 + 2n +1 = (n+1)^2



Ich verstehe ja dass man damit beweist dass 2^(n+1) > (n+1)^2 aber ich versteh ab obigen Schritt einfach nicht was gemacht wurde..



Jetzt haben wir noch folgendes als HA:

3n+8......3n+11

____ > ______

n+1.........n+4

Da bin ich jetzt bis zum Induktionsschritt gekommen, also

3(n+1)+8.....3(n+1)+11...3n+11...3n+14

________ > _________ = _____ > ______

n+1 +1......... n+1+4........n+2........n+5



gekommen, nur hab ich jetzt keine Ahnung wie ich das zeigen kann.. Kann mir da irgendwie helfen, oder zumindest mal erklären wie oben der Schritt zustande kommt?



Danke schonmal!

 

[NK-Devil]

Beweis: 2^(n+1) = 2^n x 2 > 2 x n^2 = n^2 + n^2 = n^2+ n x n > n^2+3n (und ab da komm ich nicht mehr mit..) = n^2 + 2n + n > n^2 + 2n +1 = (n+1)^2

Du musst immer für das "n" quasi die Zahl "unendlich"einsetzen,denn du betrachtest ja lim für n gegen unendlich.Man versucht immer irgendwie zu dem Term zu kommen,der am Ende steht.In dem Fall,ab dem Schritt wo du es nicht kapierst: Du versuchst aus n^2+n*n hinzukommen zu (n+1)^2,denn das willste ja am Ende beweisen.Wenn du für n jetzt unendlich einsetzt,dann siehste,dass n^2+n*n größer ist als n^2+3n(Begründung ist das n*n exponential ansteigt,während 3n nur linear ansteigt).Dann versuchste zu ein Term zu bekommen,der noch kleiner ist als dieser,immer mit dem Hintergedanken das am Ende (n+1)^2 rauskommt.

Stell dir das mal stufenförmig vor:

(1)2^n*2 ist größer als

(2)2*n^2(=n^2+n^2=n^2+n*n) ist größer als

(3)n^2+3n ist größer als

(4)n^2+2n+n ist größer als

(5)n^2+2n+1=(n+1)^2.



Somit ist automatisch (1) größer als (5),was ja zu beweisen ist.



Ist zwar sehr unmathematisch erklärt,un der ein oder andere Mathematiker wird die Nase rümpfen,aber hoffe du hast ein klein wenig den Sinn hinter der Rechnung verstanden.

Die Hausaufgabe bin ich noch am überlegen,komme da spontan nicht drauf...

 

[Exil-Teufelin]

Ok ich versuchs mal... Hier ist ja die Stelle die du nicht verstehst, oder?

n^2+ n x n > n^2+3n Also meiner Meinung nach ist das einfach eine Abschätzung, das heißt er "rät". Da das ja auch eine wahre Aussage ist, darf er das auch einfach so machen. Jetzt gehts halt drum intelligent zu raten.

Und da ist es nicht ganz verkehrt sich anzugucken wo man hin will, und das wäre ja folgendes:

(n+1)^2 = n^2 + 2*n + 1 < n^2 + 2n + n (also ich hab das jetzt nur umgekehrt hingeschrieben wie dein lehrer). und an dieser stelle schließt sich dann der Kreis.

Die Hausaufgabe versteh ich grad auf Anhieb net.

Was is jetzt genau zu zeigen?

 

[Dr. diab. rub.]

Die Hausaufgabe bin ich noch am überlegen,komme da spontan nicht drauf...

Ok, Du hast also einzelne Ungleichungen, schlägst beim Zähler und Nenner immer Eins drauf und willst zeigen, dass die Brüche immer kleiner werden - der Grenzwert dieser Folge ist im übrigen 3.

Mein spontaner Tipp wäre, bei einer Ungleichung erst einmal die Nenner per Multiplikation nach oben zu bringen. Mit ein bisschen Herumgerechne und späterer erneuter Division durch die entsprechenden Nenner sollte es dann passen.

 

[Badenteufel]

Ok, Du hast also einzelne Ungleichungen, schlägst beim Zähler und Nenner immer Eins drauf und willst zeigen, dass die Brüche immer kleiner werden - der Grenzwert ist 3 by the way.

Mein spontaner Tipp wäre, bei einer Ungleichung erst einmal die Nenner per Multiplikation nach oben zu bringen. Mit ein bisschen Herumgerechne und späterer erneuter Division durch die entsprechenden Nenner sollte es dann passen.

Genau so ist es!

Zuerst wird mit dem Hauptnenner (n+2)*(n+5) mulitpliziert, dann die Binomischen Formeln aufgelöst, und dann steht noch 26n+55 > 20n+28. Da kann man natürlich noch weiter kürzen, aber im Prinzip sieht man schon da, dass die Ungleichung stimmt.



Übrigens, für n=2 stimmt die Schulaufgabe nicht, denn mit n=2 sind beide Terme gleich. Somit muss die 2 noch ausgeschlossen werden, oder ein ">=" geschrieben werden.

 

[s ganz klää]

Du musst immer für das "n" quasi die Zahl "unendlich"einsetzen,denn du betrachtest ja lim für n gegen unendlich.Man versucht immer irgendwie zu dem Term zu kommen,der am Ende steht.In dem Fall,ab dem Schritt wo du es nicht kapierst: Du versuchst aus n^2+n*n hinzukommen zu (n+1)^2,denn das willste ja am Ende beweisen.Wenn du für n jetzt unendlich einsetzt,dann siehste,dass n^2+n*n größer ist als n^2+3n(Begründung ist das n*n exponential ansteigt,während 3n nur linear ansteigt).Dann versuchste zu ein Term zu bekommen,der noch kleiner ist als dieser,immer mit dem Hintergedanken das am Ende (n+1)^2 rauskommt.
Stell dir das mal stufenförmig vor:

(1)2^n*2 ist größer als

(2)2*n^2(=n^2+n^2=n^2+n*n) ist größer als

(3)n^2+3n ist größer als

(4)n^2+2n+n ist größer als

(5)n^2+2n+1=(n+1)^2.



Somit ist automatisch (1) größer als (5),was ja zu beweisen ist.



Ist zwar sehr unmathematisch erklärt,un der ein oder andere Mathematiker wird die Nase rümpfen,aber hoffe du hast ein klein wenig den Sinn hinter der Rechnung verstanden.

Die Hausaufgabe bin ich noch am überlegen,komme da spontan nicht drauf...

Danke

Also den Sinn hab ich verstanden, & bei (3) setzt du dann einfach den Term ein, da man ja weis das "5" der Induktionsanfang ist, und man weis dass 5*5 größer ist als 3*5 ?

Genau so ist es!
Zuerst wird mit dem Hauptnenner (n+2)*(n+5) mulitpliziert, dann die Binomischen Formeln aufgelöst, und dann steht noch 26n+55 > 20n+28. Da kann man natürlich noch weiter kürzen, aber im Prinzip sieht man schon da, dass die Ungleichung stimmt.



Übrigens, für n=2 stimmt die Schulaufgabe nicht, denn mit n=2 sind beide Terme gleich. Somit muss die 2 noch ausgeschlossen werden, oder ein ">=" geschrieben werden.

Da hätte ich evtl dazuschrieben müssen dass wir den Induktionsanfang "5" festgelegt hatten. Ich rechne die HA gleich mal auf die Art & weise durch & sag dann mal bescheid

Danke euch allen!

Gibt nix schlimmeres als beim Co-Direx im Mathe LK zu sitzen & dumm zu gucken

 

[NK-Devil]

Danke

Also den Sinn hab ich verstanden, & bei (3) setzt du dann einfach den Term ein, da man ja weis das "5" der Induktionsanfang ist, und man weis dass 5*5 größer ist als 3*5 ?

So sieht's aus!

 

[Ed van Schleck]

Hi, ich versuch mal ein bisschen Licht in das Dunkel hier zu bringen

Das ganze was dahinter steckt ist ein Beweisschema, das sich "Vollständige Induktion" schimpft. Das ist im wesentlichen aus drei Schritten aufgebaut:

1. Induktionsanfang

2. Induktionsvoraussetzung

3. Induktionsschritt



In deinem Fall heißt das konkret:

Induktionsanfang (wäre in diesem fall bei >= n=4 und bei > n = 4):

2^4 =16>=16= 4^2 bzw 2^5=32>25=5^2

Induktionsvorraussetzung:

Hier nimmst du an, dass das Ganze für ein beliebiges aber festes n bereits gezeigt ist.

Induktionsschritt:

Hier wird die Induktionsvoraussetzung benutzt: Du willst zeigen: Gilt deine Behauptung/Formel (In diesem Fall 2^n > n^2) für ein bestimmtes n, dann gilt sie auch für den Nachfolger, also fängst du mit dem Nachfolger an:

2^(n+1)= 2*2^n

Nun weißt du, dass 2^n für dein n ja größer ist als n^2, also setzt du das ein und kriegst:

2*2^n > 2 * n^2= n^2+n*n Nun kommt jetzt ins Spiel, dass du deine Formel nur für n>= 4 zeigen kannst, deswegen ist n*n > 3n, also:

n^2 + n*n > n^2 + 3n= n^2+2n +n Nun ist wiederum nach Voraussetzung n ja größer als 1 und du erhälst:

n^2 +2n+n>n^2+2n+1 = (n+1)^2

Und damit hast du dann gezeigt, dass 2^(n+1) > (n+1)^2 ist.



Ich hoffe, das ganze war einigermaßen verständlich, wenn nicht: frag noch mal nach

Ach ja: Ohne deinem Lehrer da zu nahe treten zu wollen: Wenn ich mir hier anschaue, was für Koryphäen teilweise Mathe Lehramt studieren könnte ich mir vorstellen, dass er selber nicht so ganz verstanden hat, was das ganze soll. So wie der Beweis da rangeklatscht ist, wirkt das ganze wie abgeschrieben

 

[s ganz klää]

Ok, Du hast also einzelne Ungleichungen, schlägst beim Zähler und Nenner immer Eins drauf und willst zeigen, dass die Brüche immer kleiner werden - der Grenzwert dieser Folge ist im übrigen 3.

Mein spontaner Tipp wäre, bei einer Ungleichung erst einmal die Nenner per Multiplikation nach oben zu bringen. Mit ein bisschen Herumgerechne und späterer erneuter Division durch die entsprechenden Nenner sollte es dann passen.

Ah noch hierzu ne Frage: Muss ich bei dem Grenzwert irgendwas beachten? Weil ich seh ja dass sich der 1. und der 2. Term der Ungleichung immer mehr der 3 annähren, aber werden die irgendwann genau 3 ?

 

[s ganz klää]

Hi, ich versuch mal ein bisschen Licht in das Dunkel hier zu bringen

Das ganze was dahinter steckt ist ein Beweisschema, das sich "Vollständige Induktion" schimpft. Das ist im wesentlichen aus drei Schritten aufgebaut:

1. Induktionsanfang

2. Induktionsvoraussetzung

3. Induktionsschritt



In deinem Fall heißt das konkret:

Induktionsanfang (wäre in diesem fall bei >= n=4 und bei > n = 4):

2^4 =16>=16= 4^2 bzw 2^5=32>25=5^2

Induktionsvorraussetzung:

Hier nimmst du an, dass das Ganze für ein beliebiges aber festes n bereits gezeigt ist.

Induktionsschritt:

Hier wird die Induktionsvoraussetzung benutzt: Du willst zeigen: Gilt deine Behauptung/Formel (In diesem Fall 2^n > n^2) für ein bestimmtes n, dann gilt sie auch für den Nachfolger, also fängst du mit dem Nachfolger an:

2^(n+1)= 2*2^n

Nun weißt du, dass 2^n für dein n ja größer ist als n^2, also setzt du das ein und kriegst:

2*2^n > 2 * n^2= n^2+n*n Nun kommt jetzt ins Spiel, dass du deine Formel nur für n>= 4 zeigen kannst, deswegen ist n*n > 3n, also:

n^2 + n*n > n^2 + 3n= n^2+2n +n Nun ist wiederum nach Voraussetzung n ja größer als 1 und du erhälst:

n^2 +2n+n>n^2+2n+1 = (n+1)^2

Und damit hast du dann gezeigt, dass 2^(n+1) > (n+1)^2 ist.



Ich hoffe, das ganze war einigermaßen verständlich, wenn nicht: frag noch mal nach

Ach ja: Ohne deinem Lehrer da zu nahe treten zu wollen: Wenn ich mir hier anschaue, was für Koryphäen teilweise Mathe Lehramt studieren könnte ich mir vorstellen, dass er selber nicht so ganz verstanden hat, was das ganze soll. So wie der Beweis da rangeklatscht ist, wirkt das ganze wie abgeschrieben

Puh, also die einzelnen Schritte hab ich ja verstanden, haben den Spaß ja schon seit 2 Wochen, nur war mir in dem Fall net klar das ich da dann einfach was einsetzen kann von dem ich weis dass es in jedem Fall kleiner ist, um am Ende eben zum Beweis zu kommen.. Nur muss man dann nicht nochma extra "beweisen" dass n*n > 3n für alle n Element aus N >=4 gilt oder kann ich da einfach sagen das ist so, weil ichs ja sehe & es garnicht anders sein kann dass eine Zahl >4 zum Quadrat größer ist als selbige mal 3 ?

& joa, der gute ist schon en Weilchen an der Schule & meint eben wer mathe lk hat muss in der lage sein sowas nachvollziehen zu können.. wobei wir 2 lk's in unserer stufe haben, & der andere hat zeitgleich ne wiederholung zum thema "lineare funktionen" -.- soviel zum thema "kein unterschid zwischen den 2 kursen"





EDIT: Hab die HA jetzt ausgerechnet, kann ich wnen ich am ende hab n > -4,5 qed daneben schreiben, da ja n Є N & ich weis dass n > 0 sein muss?

 

[Ed van Schleck]

Nur muss man dann nicht nochma extra "beweisen" dass n*n > 3n für alle n Element aus N >=4 gilt oder kann ich da einfach sagen das ist so, weil ichs ja sehe & es garnicht anders sein kann dass eine Zahl >4 zum Quadrat größer ist als selbige mal 3 ?
EDIT: Hab die HA jetzt ausgerechnet, kann ich wnen ich am ende hab n > -4,5 qed daneben schreiben, da ja n Є N & ich weis dass n > 0 sein muss?

Sowas ist klar

Das qed kannst du im Prinzip ohne Kommentar dahinter schreiben, wenn du > (n+1)^2 stehen hast. Wichtig ist nur, dass die Formel nur für n>= 4 gilt. Bei 3 klappts nicht.

 

[s ganz klää]

Okay

Aber der letzte teil bezog sich auf die HA

Beim von dir erläuterten ist mir klar^^

 

[Ed van Schleck]

Hmm also die HA würde ich jetzt nicht mit vollständiger machen, das ist bei Brüchen immer hässlich. Ich habe - so ich mich nicht grad verrechnet hab - ne Alternatvilösung. Aber vorsicht, hab das nur grad kurz überlegt und aus Faulheit nicht kontrolliert. Wenn man da n Fehler sieht doch besser Induktion.



Hab durch Ausklammern die den ersten Term zu 3+5/(n+1) umgeformt und den rechten zu 3-1/(n+4). Damit sieht man dann sofort, dass der linke größer ist als der rechte...



Aber vllt besser nochmal nachrechnen, ist spät und ich schau nebenbei Serien

 

[SECO]

: Für was braucht man so einen Sch....ß?

Sorry, konnts mir nicht verkneifen, ich glaub hier sind noch mehr, die nur Bahnhof verstehen. Für meinen Handwerksmeister hab ich sowas nicht gebraucht!!!!

 

[Ed van Schleck]

Hehe das sind jetzt eigentlich nur Grundlagen. Was man später damit macht, ist dann die Frage

Die Frage nach dem Sinn der reinen Mathematik (Was passiert wenn ich von einem 8-dimensionalem Kegel die Grundfläche wegnehme und ihn dann platthaue?) hat sich mir auch noch nicht erschlossen - mir war aber auch nicht danach, sich näher damit zu beschäftigen

Was ich mache ist angewandte Mathematik und das hat durchaus seinen Sinn. In der Arbeitsgruppe in der ich grad bin wird geht es dann - knapp gesagt - dadrum, die Leistung von verschiedenen Methoden der medizinischen Bildgebung (CT, MRT, PET, etc) zu verbessern oder automatisch nach Krebszellen zu suchen, etc. Und ich denke das sollte schon höchst relevant sein, oder?

 

[Chemsi]

Ja! Respekt!

danke für eure Hilfe, finde klasse, dass man hier in jeder Lebenslage Hilfe erwarten kann, ob bei Mathe, Probleme bei der Zivistelle oder Liebeskummer!

 

[AndreasFCK]

Ja! Respekt!

danke für eure Hilfe, finde klasse, dass man hier in jeder Lebenslage Hilfe erwarten kann, ob bei Mathe, Probleme bei der Zivistelle oder Liebeskummer!

Jahaaaa...und einen Sex-Mod haben wir auch!

 

[tj66]

Jahaaaa...und einen Sex-Mod haben wir auch!

Und ich gebe Nachhilfe...natürlich nur den Damen!

 

[palatino1]

: Für was braucht man so einen Sch....ß?

Das war die Frage.



Hier kommt die Antwort:

Gibt nix schlimmeres als beim Co-Direx im Mathe LK zu sitzen & dumm zu gucken

 

[AndreasFCK]

So ist das also...und ich dachte schon, man würde für`s Leben lernen...

 

[Ed van Schleck]

Ich finds super, dass jetzt auch der Mathe-Thread in Richtung Gürtellinie abgleitet - aber ich habs ja immer gesagt: Mathe macht sexy

 

[s ganz klää]

deswegen sitz ich ja auch im lk

 

[Dr. diab. rub.]

Ah noch hierzu ne Frage: Muss ich bei dem Grenzwert irgendwas beachten? Weil ich seh ja dass sich der 1. und der 2. Term der Ungleichung immer mehr der 3 annähren, aber werden die irgendwann genau 3 ?

Zu beachten gibt es nicht wirklich was - solange Du nicht durch Null dividierst. Als nämlich Gott das gemacht hat, ist das Universum entstanden.

Genau 3 werden Zähler und Nenner nie, weil der Unterschied von 7 eben immer bestehen bleibt. Bei solchen Brüchen kriegst Du den Grenzwert einfach durch geschicktes Kürzen: dividiere Zähler und Nenner durch den Deine Variable in der höchsten Ordnung (hier n, also Ordnung 1) lass die Variable gegen Unendlich laufen und schau genüßlich dabei zu, wie vorne jeweils ein konstanter Term (3 und 1) stehen bleibt, der Dir das Ergebnis liefert, während die übrigen Terme (irgendetwas geteilt durch n) ins Nirvana, d.h. gegen die Null laufen. Und sollten Dir einmal Grenzwerte von Quotienten aus Funktionen begegnen, dann gibt es dafür die Regel von l'Hospital. Die funktioniert praktisch so ähnlich.



@Ed van Schleck:

Aus welcher Richtung konvergiert er denn gegen die Gürtellinie? Der Witz über höhere Mathematik mit der Wurzel, die man aus einer Unbekannten zieht, liegt jedenfalls eindeutig darunter ...

Und ja: Mathe macht sexy - nur wissen das die Allerwenigsten zu schätzen.

 

[s ganz klää]

Ich bins mal wieder

Sitz grad vor meinen Mathe-HA's und weis grad nicht so recht wo ich anfangen soll.. Aufgabe:



Zeigen Sie : Wenn f,g reelle Funktionen streng monoton wachsend sind, ist auch f+g streng monoton wachsend.



Keien Ahnung wie ich anfangen soll

 

[Ed van Schleck]

Welche Definition für streng monotones Wachstum habt ihr denn gehabt? Je nachdem muss man den zwei Zeilen Beweis unterschiedlich ansetzen

 

[s ganz klää]

Def. Eine Funktion f heißt



a) streng monoton wachsend wenn x<x* f(x)<f(x*)

streng monoton fallend wenn x<x* f(x)> f(x*)



Das hab ich mir mal mitgeschrieben^^

 

[Ed van Schleck]

Ok, damit kann man das direkt hinschreiben. Aus Pädagogischen Gründen die Lösung im Spoiler...

<div style="margin-bottom:2px;"><b>Spoiler</b> <i>%2$s</i>:

<div>
Seien f, g streng monoton wachsend, also f(x) > f(y) für x>y (g analog), dann gilt:
(f+g)(x)=f(x)+g(x)>f(y)+g(y)=(f+g)(y) (nach Voraussetzung oben)


</div>
</div>

 

[s ganz klää]

danke

kann ich dann oben aber auch analog zur definition schreiben f(x) < f(x*) & x< x* ?

 

[Ed van Schleck]

Jo klar, geht auch. Wichtig ist halt nur, dass du bei strengem monotonem Wachstum zeigen musst, dass aus x < x* f(x) < f(x*) folgt; dann ist die Benennung der Variablen egal...

 

[s ganz klää]

mh.. aber ist das nicht meine vorraussetzung? wie zeige ich das denn?